Contoh soal matematika peminatan kelas 10 semester 1 dan jawabannya

Menguasai Matematika Peminatan Kelas 10 Semester 1: Panduan Lengkap dengan Contoh Soal dan Pembahasan Mendalam

Memasuki jenjang SMA, mata pelajaran Matematika Peminatan menjadi salah satu mata pelajaran krusial yang menantang sekaligus membuka wawasan. Bagi siswa kelas 10 semester 1, materi yang disajikan seringkali menjadi fondasi penting untuk pemahaman konsep matematika yang lebih mendalam di semester-semester berikutnya dan jenjang pendidikan tinggi. Memahami konsep dasar dan mampu menerapkannya dalam berbagai jenis soal adalah kunci keberhasilan.

Artikel ini akan menjadi panduan lengkap bagi Anda untuk menguasai materi Matematika Peminatan Kelas 10 Semester 1. Kita akan membahas beberapa topik utama yang seringkali muncul, dilengkapi dengan contoh soal yang bervariasi, serta pembahasan jawaban yang terperinci langkah demi langkah. Dengan memahami contoh-contoh ini, diharapkan Anda dapat membangun kepercayaan diri dan kesiapan menghadapi ulangan harian, penilaian tengah semester, hingga penilaian akhir semester.

Topik Utama Matematika Peminatan Kelas 10 Semester 1:

Pada semester 1, materi Matematika Peminatan biasanya berfokus pada beberapa area kunci, yaitu:

1. Eksponen dan Logaritma: Memahami sifat-sifat eksponen, mengubah bentuk pangkat menjadi akar dan sebaliknya, serta menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan eksponensial. Logaritma sebagai invers dari eksponen juga menjadi fokus, termasuk sifat-sifatnya dan penyelesaian persamaan logaritma.
2. Fungsi Kuadrat: Menggali lebih dalam tentang karakteristik fungsi kuadrat, termasuk menentukan titik puncak, sumbu simetri, akar-akar persamaan kuadrat, serta menggambar grafik fungsi kuadrat. Analisis terhadap diskriminan juga menjadi bagian penting.
3. Persamaan dan Pertidaksamaan Rasional: Memahami konsep pecahan aljabar dan bagaimana menyelesaikan persamaan serta pertidaksamaan yang melibatkan bentuk rasional.

Mari kita selami masing-masing topik dengan contoh soal dan pembahasannya.

>

Bagian 1: Eksponen dan Logaritma

Konsep Dasar:

• Eksponen: Bentuk $a^n$ dibaca "a pangkat n", yang berarti perkalian bilangan $a$ sebanyak $n$ kali.
  • Sifat-sifat penting: $a^m cdot a^n = a^m+n$, $fraca^ma^n = a^m-n$, $(a^m)^n = a^m cdot n$, $(ab)^n = a^n b^n$, $(fracab)^n = fraca^nb^n$, $a^0 = 1$ (untuk $a neq 0$), $a^-n = frac1a^n$.
• Logaritma: Bentuk $log_a b = c$ berarti $a^c = b$.
  • Sifat-sifat penting: $log_a 1 = 0$, $log_a a = 1$, $log_a (b cdot c) = log_a b + log_a c$, $log_a (fracbc) = log_a b – log_a c$, $log_a b^n = n log_a b$, $log_a b = fraclog_c blog_c a$ (sifat perubahan basis).

Contoh Soal 1: Menyederhanakan Bentuk Eksponen

Sederhanakan bentuk $left(frac3a^2b^-3a^-1b^2right)^-2$!

Pembahasan:

Kita akan menggunakan sifat-sifat eksponen secara bertahap.

1. Sederhanakan bagian dalam kurung terlebih dahulu:
   $frac3a^2b^-3a^-1b^2 = 3 cdot a^2 – (-1) cdot b^-3 – 2$
   $= 3 cdot a^2+1 cdot b^-5$
   $= 3a^3b^-5$

2. Pangkatkan hasil dengan -2:
   $(3a^3b^-5)^-2 = 3^-2 cdot (a^3)^-2 cdot (b^-5)^-2$
   $= frac13^2 cdot a^3 cdot (-2) cdot b^-5 cdot (-2)$
   $= frac19 cdot a^-6 cdot b^10$

3. Ubah bentuk pangkat negatif menjadi positif:
   $= frac19 cdot frac1a^6 cdot b^10$
   $= fracb^109a^6$

Jadi, bentuk sederhana dari $left(frac3a^2b^-3a^-1b^2right)^-2$ adalah $fracb^109a^6$.

Contoh Soal 2: Menyelesaikan Persamaan Logaritma

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $log_2 (x-1) + log_2 (x+1) = 3$!

Pembahasan:

Kita perlu menggunakan sifat-sifat logaritma untuk menggabungkan suku-suku di ruas kiri.

1. Gunakan sifat $log_a b + log_a c = log_a (b cdot c)$:
   $log_2 ((x-1)(x+1)) = 3$

2. Sederhanakan ekspresi di dalam logaritma:
   $log_2 (x^2 – 1) = 3$

3. Ubah bentuk logaritma menjadi bentuk eksponensial:
   Ingat bahwa $log_a b = c iff a^c = b$.
   Maka, $x^2 – 1 = 2^3$
   $x^2 – 1 = 8$

4. Selesaikan persamaan kuadrat:
   $x^2 = 8 + 1$
   $x^2 = 9$
   $x = pm sqrt9$
   $x = 3$ atau $x = -3$

5. Periksa syarat numerus logaritma:
   Syarat agar logaritma terdefinisi adalah numerusnya harus positif.

   • Untuk $x=3$:
     $x-1 = 3-1 = 2 > 0$ (Terdefinisi)
     $x+1 = 3+1 = 4 > 0$ (Terdefinisi)
     Maka, $x=3$ adalah solusi yang valid.
   • Untuk $x=-3$:
     $x-1 = -3-1 = -4 < 0$ (Tidak terdefinisi)
     $x+1 = -3+1 = -2 < 0$ (Tidak terdefinisi)
     Maka, $x=-3$ bukan solusi yang valid.

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $3$.

>

Bagian 2: Fungsi Kuadrat

Konsep Dasar:

• Bentuk umum fungsi kuadrat adalah $f(x) = ax^2 + bx + c$, dengan $a, b, c$ adalah konstanta dan $a neq 0$.
• Titik Puncak: Koordinat $(x_p, y_p)$ di mana $x_p = -fracb2a$ dan $y_p = f(x_p)$.
• Sumbu Simetri: Garis vertikal $x = x_p = -fracb2a$.
• Akar-akar Persamaan Kuadrat: Nilai $x$ yang memenuhi $ax^2 + bx + c = 0$. Dapat dicari menggunakan rumus ABC: $x = frac-b pm sqrtb^2-4ac2a$ atau dengan faktorisasi.
• Diskriminan (D): $D = b^2 – 4ac$.
  • Jika $D > 0$, terdapat dua akar real berbeda.
  • Jika $D = 0$, terdapat satu akar real kembar (akar rangkap).
  • Jika $D < 0$, tidak terdapat akar real (akar imajiner).
• Titik Potong Sumbu-y: Terjadi saat $x=0$, sehingga titiknya adalah $(0, c)$.

Contoh Soal 3: Menentukan Titik Puncak dan Sumbu Simetri

Tentukan titik puncak dan sumbu simetri dari fungsi kuadrat $f(x) = 2x^2 – 8x + 5$!

Pembahasan:

Fungsi kuadratnya adalah $f(x) = 2x^2 – 8x + 5$. Dari sini kita identifikasi koefisiennya: $a=2$, $b=-8$, dan $c=5$.

1. Menentukan Sumbu Simetri:
   Rumus sumbu simetri adalah $x_p = -fracb2a$.
   $x_p = -frac-82 cdot 2 = -frac-84 = 2$.
   Jadi, sumbu simetrinya adalah garis $x=2$.

2. Menentukan Titik Puncak:
   Untuk mencari koordinat $y$ dari titik puncak ($y_p$), kita substitusikan nilai $x_p$ ke dalam fungsi $f(x)$.
   $y_p = f(x_p) = f(2)$
   $y_p = 2(2)^2 – 8(2) + 5$
   $y_p = 2(4) – 16 + 5$
   $y_p = 8 – 16 + 5$
   $y_p = -8 + 5$
   $y_p = -3$.

   Jadi, titik puncaknya adalah $(2, -3)$.

Kesimpulan:

• Sumbu simetri: $x = 2$
• Titik puncak: $(2, -3)$

Contoh Soal 4: Analisis Diskriminan dan Akar-akar

Tentukan sifat akar-akar dari persamaan kuadrat $3x^2 + 5x – 2 = 0$ dan tentukan akar-akarnya jika ada!

Pembahasan:

Persamaan kuadratnya adalah $3x^2 + 5x – 2 = 0$. Koefisiennya adalah $a=3$, $b=5$, dan $c=-2$.

1. Hitung Diskriminan (D):
   $D = b^2 – 4ac$
   $D = (5)^2 – 4(3)(-2)$
   $D = 25 – (-24)$
   $D = 25 + 24$
   $D = 49$

2. Analisis Sifat Akar Berdasarkan D:
   Karena $D = 49 > 0$, maka persamaan kuadrat ini memiliki dua akar real berbeda.

3. Menentukan Akar-akar Persamaan:
   Kita dapat menggunakan rumus ABC: $x = frac-b pm sqrtD2a$
   $x = frac-5 pm sqrt492 cdot 3$
   $x = frac-5 pm 76$

   Ada dua kemungkinan nilai $x$:

   • $x_1 = frac-5 + 76 = frac26 = frac13$
   • $x_2 = frac-5 – 76 = frac-126 = -2$

Kesimpulan:

• Sifat akar: dua akar real berbeda.
• Akar-akar persamaan: $x = frac13$ dan $x = -2$.

>

Bagian 3: Persamaan dan Pertidaksamaan Rasional

Konsep Dasar:

• Pertidaksamaan Rasional: Bentuk $fracP(x)Q(x) > 0$, $fracP(x)Q(x) < 0$, $fracP(x)Q(x) ge 0$, atau $fracP(x)Q(x) le 0$, di mana $P(x)$ dan $Q(x)$ adalah polinomial, dan $Q(x) neq 0$.
• Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan rasional:
  1. Ubah semua suku ke satu ruas sehingga ruas lainnya menjadi nol.
  2. Samakan penyebutnya jika perlu, sehingga diperoleh bentuk $fracP(x)Q(x)$ atau $fracR(x)S(x)$.
  3. Tentukan pembuat nol dari pembilang ($P(x)=0$) dan penyebut ($Q(x)=0$).
  4. Buat garis bilangan dari pembuat nol tersebut.
  5. Uji nilai di setiap interval pada garis bilangan untuk menentukan tanda (positif atau negatif).
  6. Tentukan solusi berdasarkan tanda yang diminta pada pertidaksamaan. Ingat, penyebut tidak boleh nol.

Contoh Soal 5: Menyelesaikan Pertidaksamaan Rasional

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $fracx-1x+2 le 2$!

Pembahasan:

1. Ubah ke satu ruas:
   $fracx-1x+2 – 2 le 0$

2. Samakan penyebut:
   $fracx-1x+2 – frac2(x+2)x+2 le 0$
   $fracx-1 – (2x+4)x+2 le 0$
   $fracx-1 – 2x – 4x+2 le 0$
   $frac-x-5x+2 le 0$

3. Tentukan pembuat nol:

   • Pembilang: $-x-5 = 0 implies -x = 5 implies x = -5$.
   • Penyebut: $x+2 = 0 implies x = -2$.

4. Buat garis bilangan:
   Pembuat nolnya adalah $-5$ dan $-2$. Urutkan di garis bilangan: $-5, -2$.

   -----(-5)-------(-2)-----

5. Uji nilai di setiap interval:

   • Interval $x < -5$ (misal $x=-6$):
     $frac-(-6)-5-6+2 = frac6-5-4 = frac1-4 = -frac14$ (Negatif)
   • Interval $-5 < x < -2$ (misal $x=-3$):
     $frac-(-3)-5-3+2 = frac3-5-1 = frac-2-1 = 2$ (Positif)
   • Interval $x > -2$ (misal $x=0$):
     $frac-(0)-50+2 = frac-52 = -frac52$ (Negatif)

6. Tentukan solusi:
   Kita mencari nilai $x$ di mana $frac-x-5x+2 le 0$ (negatif atau nol).

   • Interval yang menghasilkan nilai negatif adalah $x < -5$ dan $x > -2$.
   • Untuk nilai yang sama dengan nol, kita lihat pembilang. $-x-5=0$ saat $x=-5$. Karena pertidaksamaannya $le$, maka $x=-5$ termasuk dalam solusi.
   • Penyebut tidak boleh nol, jadi $x neq -2$.

   Menggabungkan semua, solusi yang memenuhi adalah $x le -5$ atau $x > -2$.

Himpunan Penyelesaian: $ x le -5 text atau x > -2$. Dalam notasi interval: $(-infty, -5] cup (-2, infty)$.

>

Penutup:

Memahami contoh-contoh soal di atas adalah langkah awal yang baik untuk menguasai materi Matematika Peminatan Kelas 10 Semester 1. Kuncinya adalah konsisten dalam berlatih, memahami konsep dasar di balik setiap rumus, dan tidak ragu untuk mencoba variasi soal yang berbeda.

Ingatlah bahwa matematika adalah sebuah proses. Kesabaran, ketekunan, dan kemauan untuk terus belajar akan membawa Anda pada pemahaman yang lebih dalam dan kemampuan yang lebih baik dalam menyelesaikan berbagai permasalahan matematika. Selamat belajar dan semoga sukses!

>