Contoh soal matematika peminatan kelas 11 semester 1 dan pembahasannya

Menguasai Matematika Peminatan Kelas 11 Semester 1: Contoh Soal dan Pembahasan Mendalam

Matematika Peminatan di kelas 11 membuka gerbang ke dunia konsep-konsep yang lebih abstrak dan aplikasi yang lebih luas. Semester 1 biasanya berfokus pada topik-topik fundamental yang menjadi dasar bagi pembelajaran di semester selanjutnya dan bahkan di jenjang perguruan tinggi. Memahami konsep-konsep ini dengan baik melalui latihan soal yang bervariasi adalah kunci utama keberhasilan.

Artikel ini akan mengulas beberapa contoh soal Matematika Peminatan Kelas 11 Semester 1 beserta pembahasan mendalamnya. Tujuannya adalah untuk membantu Anda tidak hanya menemukan jawaban yang benar, tetapi juga memahami alur berpikir, strategi penyelesaian, dan konsep di balik setiap soal.

Topik Utama Semester 1 Matematika Peminatan Kelas 11

Sebelum kita masuk ke contoh soal, mari kita ingat kembali topik-topik utama yang umumnya dibahas di Semester 1 Matematika Peminatan Kelas 11:

1. Fungsi Eksponensial dan Logaritma: Meliputi definisi, sifat-sifat, grafik, persamaan, dan pertidaksamaan eksponensial serta logaritma.
2. Trigonometri Lanjut: Meliputi identitas trigonometri lanjutan, persamaan trigonometri bentuk umum, serta aplikasi dalam segitiga.
3. Vektor (di Ruang Dimensi Dua dan Tiga): Meliputi definisi, operasi vektor (penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar), vektor satuan, vektor posisi, serta aplikasi seperti dot product dan cross product.

Mari kita mulai dengan contoh soal dari masing-masing topik tersebut.

>

Contoh Soal 1: Fungsi Eksponensial dan Logaritma

Soal:

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan eksponensial berikut:

$3^2x+1 = frac19^x-2$

Pembahasan:

Persamaan eksponensial dapat diselesaikan dengan menyamakan basisnya. Langkah pertama adalah mengubah kedua ruas persamaan agar memiliki basis yang sama.

• Perhatikan bahwa $9$ dapat ditulis sebagai $3^2$.
• Pecahan $frac19^x-2$ dapat ditulis ulang menggunakan sifat eksponen $frac1a^m = a^-m$.

Mari kita substitusikan ke dalam persamaan:

$3^2x+1 = frac1(3^2)^x-2$

Menggunakan sifat eksponen $(a^m)^n = a^m cdot n$:

$3^2x+1 = (3^2)^-(x-2)$
$3^2x+1 = 3^2(-(x-2))$
$3^2x+1 = 3^-2(x-2)$
$3^2x+1 = 3^-2x+4$

Sekarang kedua ruas memiliki basis yang sama, yaitu $3$. Kita dapat menyamakan eksponennya:

$2x + 1 = -2x + 4$

Selanjutnya, kita selesaikan persamaan linear ini untuk mencari nilai $x$:

Tambahkan $2x$ ke kedua ruas:
$2x + 2x + 1 = -2x + 2x + 4$
$4x + 1 = 4$

Kurangi $1$ dari kedua ruas:
$4x + 1 – 1 = 4 – 1$
$4x = 3$

Bagi kedua ruas dengan $4$:
$x = frac34$

Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut adalah $leftfrac34right$.

Konsep Kunci:

• Menyamakan basis dalam persamaan eksponensial.
• Sifat-sifat eksponen: $frac1a^m = a^-m$, $(a^m)^n = a^m cdot n$.

>

Contoh Soal 2: Fungsi Logaritma

Soal:

Jika $log_2(x-1) + log_2(x+1) = 3$, tentukan nilai $x$ yang memenuhi.

Pembahasan:

Persamaan logaritma dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat-sifat logaritma dan mengubahnya menjadi persamaan eksponensial.

Pertama, perhatikan syarat numerus logaritma agar terdefinisi:

• $x-1 > 0 implies x > 1$
• $x+1 > 0 implies x > -1$
  Agar kedua syarat terpenuhi, maka $x > 1$.

Gunakan sifat logaritma $log_b A + log_b B = log_b (A cdot B)$:

$log_2((x-1)(x+1)) = 3$

Perhatikan bahwa $(x-1)(x+1)$ adalah bentuk selisih kuadrat, yaitu $x^2 – 1$.

$log_2(x^2 – 1) = 3$

Sekarang, ubah bentuk logaritma ini menjadi bentuk eksponensial menggunakan definisi $log_b y = x iff b^x = y$:

$2^3 = x^2 – 1$

Hitung nilai $2^3$:
$8 = x^2 – 1$

Selesaikan persamaan kuadrat ini untuk $x$:

Tambahkan $1$ ke kedua ruas:
$8 + 1 = x^2 – 1 + 1$
$9 = x^2$

Ambil akar kuadrat dari kedua ruas:
$x = pmsqrt9$
$x = pm 3$

Kita mendapatkan dua kemungkinan nilai $x$, yaitu $x=3$ dan $x=-3$. Namun, kita harus memeriksa kembali syarat numerus logaritma yang telah kita tentukan di awal, yaitu $x > 1$.

• Untuk $x=3$: Memenuhi syarat $x > 1$.
• Untuk $x=-3$: Tidak memenuhi syarat $x > 1$.

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan adalah $x=3$.

Konsep Kunci:

• Syarat numerus logaritma.
• Sifat logaritma: $log_b A + log_b B = log_b (A cdot B)$.
• Definisi logaritma: $log_b y = x iff b^x = y$.
• Selisih kuadrat: $(a-b)(a+b) = a^2 – b^2$.

>

Contoh Soal 3: Trigonometri Lanjutan (Identitas)

Soal:

Buktikan identitas trigonometri berikut:

$fracsin(2theta)1 + cos(2theta) = tan(theta)$

Pembahasan:

Untuk membuktikan identitas trigonometri, kita biasanya mulai dari salah satu ruas (biasanya ruas yang lebih kompleks) dan menggunakan identitas-identitas dasar serta identitas sudut ganda untuk menyederhanakannya hingga sama dengan ruas lainnya.

Mari kita mulai dari ruas kiri:

Ruas Kiri: $fracsin(2theta)1 + cos(2theta)$

Kita akan menggunakan identitas sudut ganda:

• $sin(2theta) = 2 sin(theta) cos(theta)$
• $cos(2theta) = 2 cos^2(theta) – 1$ (Kita pilih bentuk ini karena ada $1+$ di penyebut, sehingga $1 + (2 cos^2(theta) – 1) = 2 cos^2(theta)$, yang akan menyederhanakan penyebut).

Substitusikan identitas-identitas ini ke dalam ruas kiri:

$frac2 sin(theta) cos(theta)1 + (2 cos^2(theta) – 1)$

Sederhanakan penyebutnya:
$frac2 sin(theta) cos(theta)2 cos^2(theta)$

Sekarang, kita bisa menyederhanakan suku-suku yang sama di pembilang dan penyebut. Kita bisa membagi $2$ dan satu faktor $cos(theta)$ dari pembilang dan penyebut (dengan asumsi $cos(theta) neq 0$):

$fraccancel2 sin(theta) cancelcos(theta)cancel2 cos^cancel2(theta)$
$= fracsin(theta)cos(theta)$

Kita tahu dari identitas dasar trigonometri bahwa $tan(theta) = fracsin(theta)cos(theta)$.

$fracsin(theta)cos(theta) = tan(theta)$

Ini adalah ruas kanan. Jadi, kita telah berhasil membuktikan identitas tersebut.

Konsep Kunci:

• Identitas sudut ganda: $sin(2theta) = 2 sin(theta) cos(theta)$ dan berbagai bentuk untuk $cos(2theta)$ (pilih yang sesuai).
• Identitas dasar trigonometri: $tan(theta) = fracsin(theta)cos(theta)$.
• Aljabar penyederhanaan suku-suku yang sama.
• Asumsi bahwa penyebut tidak nol ($cos(theta) neq 0$ untuk $tan(theta)$ terdefinisi).

>

Contoh Soal 4: Vektor di Ruang Dimensi Dua

Soal:

Diketahui vektor $veca = beginpmatrix 3 -2 endpmatrix$ dan vektor $vecb = beginpmatrix -1 4 endpmatrix$. Tentukan vektor $vecc = 2veca – vecb$.

Pembahasan:

Operasi vektor melibatkan penjumlahan, pengurangan, dan perkalian skalar.

1. Perkalian Skalar: Mengalikan vektor dengan skalar berarti mengalikan setiap komponen vektor tersebut dengan skalar itu.
   $2veca = 2 beginpmatrix 3 -2 endpmatrix = beginpmatrix 2 cdot 3 2 cdot (-2) endpmatrix = beginpmatrix 6 -4 endpmatrix$

2. Pengurangan Vektor: Mengurangkan vektor berarti mengurangkan komponen-komponen yang bersesuaian.
   $vecc = 2veca – vecb = beginpmatrix 6 -4 endpmatrix – beginpmatrix -1 4 endpmatrix$

   $vecc = beginpmatrix 6 – (-1) -4 – 4 endpmatrix$
   $vecc = beginpmatrix 6 + 1 -8 endpmatrix$
   $vecc = beginpmatrix 7 -8 endpmatrix$

Jadi, vektor $vecc$ adalah $beginpmatrix 7 -8 endpmatrix$.

Konsep Kunci:

• Perkalian vektor dengan skalar: $k beginpmatrix x y endpmatrix = beginpmatrix kx ky endpmatrix$.
• Pengurangan vektor: $beginpmatrix x_1 y_1 endpmatrix – beginpmatrix x_2 y_2 endpmatrix = beginpmatrix x_1 – x_2 y_1 – y_2 endpmatrix$.

>

Contoh Soal 5: Vektor di Ruang Dimensi Tiga (Dot Product)

Soal:

Diketahui vektor $vecu = beginpmatrix 1 -2 3 endpmatrix$ dan vektor $vecv = beginpmatrix 2 1 -1 endpmatrix$. Tentukan hasil dari $vecu cdot vecv$ (dot product).

Pembahasan:

Dot product (hasil kali titik) dari dua vektor adalah sebuah skalar. Untuk vektor di ruang dimensi tiga, dot product dihitung dengan menjumlahkan perkalian komponen-komponen yang bersesuaian.

Jika $vecu = beginpmatrix u_1 u_2 u_3 endpmatrix$ dan $vecv = beginpmatrix v_1 v_2 v_3 endpmatrix$, maka $vecu cdot vecv = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$.

Dalam kasus ini:
$u_1 = 1, u_2 = -2, u_3 = 3$
$v_1 = 2, v_2 = 1, v_3 = -1$

Maka, $vecu cdot vecv$:

$vecu cdot vecv = (1)(2) + (-2)(1) + (3)(-1)$
$vecu cdot vecv = 2 + (-2) + (-3)$
$vecu cdot vecv = 2 – 2 – 3$
$vecu cdot vecv = -3$

Jadi, hasil dari $vecu cdot vecv$ adalah $-3$.

Konsep Kunci:

• Definisi dot product di ruang dimensi tiga: $vecu cdot vecv = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$.
• Dot product menghasilkan nilai skalar.

>

Penutup

Mempelajari Matematika Peminatan membutuhkan pemahaman konsep yang kuat dan latihan soal yang konsisten. Contoh-contoh soal di atas mencakup beberapa topik penting di Semester 1 kelas 11. Ingatlah untuk selalu memahami alasan di balik setiap langkah penyelesaian, bukan hanya menghafal rumus.

Tips Tambahan untuk Sukses:

1. Pahami Konsep Dasar: Pastikan Anda benar-benar mengerti definisi dan sifat-sifat dari setiap topik.
2. Latihan Bervariasi: Kerjakan soal-soal dari berbagai sumber dengan tingkat kesulitan yang berbeda.
3. Diskusi: Jangan ragu untuk bertanya kepada guru atau teman jika ada materi yang kurang dipahami.
4. Buat Catatan Sendiri: Merangkum materi dan solusi soal dengan bahasa Anda sendiri dapat membantu pemahaman.
5. Coba Soal Aplikasi: Setelah menguasai dasar-dasar, cari soal-soal yang melibatkan penerapan konsep dalam konteks dunia nyata.

Dengan tekad dan strategi belajar yang tepat, Anda pasti bisa menguasai Matematika Peminatan kelas 11 Semester 1. Selamat belajar!

>