Contoh soal matematika peminatan kelas 10 semester 1 dan penyelesaiannya

Menjelajahi Dunia Aljabar: Contoh Soal Matematika Peminatan Kelas 10 Semester 1 dan Solusinya

Semester pertama di kelas 10, khususnya pada mata pelajaran Matematika Peminatan, seringkali menjadi gerbang awal yang menyenangkan untuk mendalami konsep-konsep matematika yang lebih abstrak dan mendalam. Materi yang diajarkan biasanya berfokus pada pemahaman fundamental tentang fungsi, persamaan, dan ketidaksamaan, yang menjadi bekal penting untuk topik-topik lanjutan di semester berikutnya maupun di jenjang pendidikan yang lebih tinggi.

Dalam artikel ini, kita akan mengupas beberapa contoh soal yang representatif dari materi Matematika Peminatan kelas 10 semester 1, lengkap dengan penjelasan langkah demi langkah penyelesaiannya. Tujuannya adalah agar para siswa dapat lebih memahami konsep yang diujikan, menguasai strategi penyelesaian, dan membangun kepercayaan diri dalam menghadapi soal-soal serupa.

Materi Pokok Matematika Peminatan Kelas 10 Semester 1 yang Umum Dibahas:

Sebelum masuk ke contoh soal, mari kita tinjau secara singkat materi-materi utama yang biasanya menjadi fokus di semester ini:

1. Fungsi Kuadrat: Meliputi pengertian, grafik fungsi kuadrat (parabola), menentukan titik puncak, titik potong sumbu x dan y, serta aplikasi fungsi kuadrat dalam masalah nyata.
2. Persamaan Kuadrat: Meliputi akar-akar persamaan kuadrat, cara mencari akar (pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna, rumus ABC), sifat-sifat akar, dan menyusun persamaan kuadrat baru.
3. Ketidaksamaan Kuadrat: Meliputi cara menyelesaikan ketidaksamaan kuadrat menggunakan garis bilangan dan metode uji titik.
4. Fungsi Rasional: Pengertian, domain, kodomain, range, dan grafik fungsi rasional sederhana.
5. Persamaan dan Ketidaksamaan Rasional: Cara menyelesaikan persamaan dan ketidaksamaan yang melibatkan bentuk pecahan aljabar.

Mari kita mulai dengan contoh soal yang mencakup beberapa materi di atas.

>

Contoh Soal 1: Memahami Fungsi Kuadrat dan Titik Puncaknya

Soal:

Diketahui sebuah fungsi kuadrat $f(x) = 2x^2 – 8x + 6$. Tentukan:
a. Titik potong fungsi dengan sumbu y.
b. Titik potong fungsi dengan sumbu x.
c. Koordinat titik puncak fungsi.
d. Sketsa grafik fungsi tersebut.

Penyelesaian:

Fungsi kuadrat memiliki bentuk umum $f(x) = ax^2 + bx + c$. Dalam soal ini, kita memiliki $a = 2$, $b = -8$, dan $c = 6$.

a. Titik potong fungsi dengan sumbu y:

Titik potong dengan sumbu y terjadi ketika nilai $x = 0$.
Maka, kita substitusikan $x = 0$ ke dalam fungsi:
$f(0) = 2(0)^2 – 8(0) + 6$
$f(0) = 0 – 0 + 6$
$f(0) = 6$
Jadi, titik potong fungsi dengan sumbu y adalah (0, 6).

b. Titik potong fungsi dengan sumbu x:

Titik potong dengan sumbu x terjadi ketika nilai $f(x) = 0$.
Maka, kita perlu menyelesaikan persamaan kuadrat $2x^2 – 8x + 6 = 0$.
Persamaan ini dapat disederhanakan dengan membagi seluruh suku dengan 2:
$x^2 – 4x + 3 = 0$

Kita dapat mencari akar-akar persamaan ini dengan metode pemfaktoran. Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan 3 dan jika dijumlahkan menghasilkan -4. Bilangan tersebut adalah -1 dan -3.
$(x – 1)(x – 3) = 0$

Maka, solusinya adalah:
$x – 1 = 0 implies x = 1$
$x – 3 = 0 implies x = 3$
Jadi, titik potong fungsi dengan sumbu x adalah (1, 0) dan (3, 0).

c. Koordinat titik puncak fungsi:

Koordinat titik puncak $(x_p, y_p)$ dari fungsi kuadrat $f(x) = ax^2 + bx + c$ dapat dicari dengan rumus:
$x_p = frac-b2a$
$y_p = f(x_p)$ atau $y_p = frac-(b^2 – 4ac)4a$

Menggunakan rumus $x_p$:
$x_p = frac-(-8)2(2)$
$x_p = frac84$
$x_p = 2$

Sekarang, kita substitusikan $x_p = 2$ ke dalam fungsi $f(x)$ untuk mencari $y_p$:
$y_p = f(2) = 2(2)^2 – 8(2) + 6$
$y_p = 2(4) – 16 + 6$
$y_p = 8 – 16 + 6$
$y_p = -8 + 6$
$y_p = -2$

Jadi, koordinat titik puncak fungsi adalah (2, -2).

d. Sketsa grafik fungsi tersebut:

Untuk membuat sketsa grafik, kita gunakan informasi yang telah kita peroleh:

• Titik potong sumbu y: (0, 6)
• Titik potong sumbu x: (1, 0) dan (3, 0)
• Titik puncak: (2, -2)
• Koefisien $a = 2$ (positif), yang berarti parabola terbuka ke atas.

Kita bisa menandai titik-titik ini pada bidang koordinat. Karena $a > 0$, parabola akan mencapai nilai minimum di titik puncaknya.

>

Contoh Soal 2: Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Soal:

Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah $alpha + 2$ dan $beta + 2$, jika $alpha$ dan $beta$ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat $x^2 – 5x + 6 = 0$.

Penyelesaian:

Diketahui persamaan kuadrat $x^2 – 5x + 6 = 0$.
Dari persamaan ini, kita dapat menentukan jumlah dan hasil kali akar-akarnya menggunakan sifat Vieta:
Untuk persamaan $ax^2 + bx + c = 0$, jumlah akar $alpha + beta = -fracba$ dan hasil kali akar $alpha beta = fracca$.
Dalam kasus ini, $a=1$, $b=-5$, dan $c=6$.

Maka:
Jumlah akar: $alpha + beta = -frac-51 = 5$
Hasil kali akar: $alpha beta = frac61 = 6$

Kita ingin menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah $alpha’ = alpha + 2$ dan $beta’ = beta + 2$.
Untuk menyusun persamaan kuadrat baru, kita perlu mengetahui jumlah akar-akar baru ($alpha’ + beta’$) dan hasil kali akar-akar baru ($alpha’ beta’$).

Menghitung jumlah akar-akar baru:
$alpha’ + beta’ = (alpha + 2) + (beta + 2)$
$alpha’ + beta’ = alpha + beta + 4$
Kita sudah tahu $alpha + beta = 5$, jadi:
$alpha’ + beta’ = 5 + 4 = 9$

Menghitung hasil kali akar-akar baru:
$alpha’ beta’ = (alpha + 2)(beta + 2)$
$alpha’ beta’ = alphabeta + 2alpha + 2beta + 4$
$alpha’ beta’ = alphabeta + 2(alpha + beta) + 4$
Kita sudah tahu $alpha beta = 6$ dan $alpha + beta = 5$, jadi:
$alpha’ beta’ = 6 + 2(5) + 4$
$alpha’ beta’ = 6 + 10 + 4$
$alpha’ beta’ = 20$

Persamaan kuadrat baru dapat disusun dengan rumus $x^2 – (textjumlah akar baru)x + (texthasil kali akar baru) = 0$.
Substitusikan nilai jumlah akar baru (9) dan hasil kali akar baru (20):
$x^2 – 9x + 20 = 0$

Jadi, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah $alpha + 2$ dan $beta + 2$ adalah $x^2 – 9x + 20 = 0$.

>

Contoh Soal 3: Menyelesaikan Ketidaksamaan Kuadrat

Soal:

Tentukan himpunan penyelesaian dari ketidaksamaan $x^2 – 5x + 4 le 0$.

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan ketidaksamaan kuadrat $x^2 – 5x + 4 le 0$, langkah pertama adalah mencari akar-akar dari persamaan kuadrat yang bersesuaian, yaitu $x^2 – 5x + 4 = 0$.

Kita dapat memfaktorkan persamaan kuadrat ini. Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan 4 dan jika dijumlahkan menghasilkan -5. Bilangan tersebut adalah -1 dan -4.
$(x – 1)(x – 4) = 0$

Akar-akarnya adalah:
$x – 1 = 0 implies x = 1$
$x – 4 = 0 implies x = 4$

Akar-akar ini membagi garis bilangan menjadi tiga interval: $(-infty, 1)$, $$, dan $(4, infty)$. Kita perlu menguji nilai dari setiap interval untuk menentukan di mana ketidaksamaan $x^2 – 5x + 4 le 0$ terpenuhi.

Kita dapat menggunakan garis bilangan dan uji titik:

1. Gambar garis bilangan: Tandai titik 1 dan 4 pada garis bilangan.
2. Uji titik pada setiap interval:
   • Interval 1: $x < 1$ (misalnya, $x=0$)
     Substitusikan $x=0$ ke dalam $x^2 – 5x + 4$:
     $(0)^2 – 5(0) + 4 = 4$.
     Karena $4 > 0$, ketidaksamaan tidak terpenuhi pada interval ini.
   • Interval 2: $1 < x < 4$ (misalnya, $x=2$)
     Substitusikan $x=2$ ke dalam $x^2 – 5x + 4$:
     $(2)^2 – 5(2) + 4 = 4 – 10 + 4 = -2$.
     Karena $-2 le 0$, ketidaksamaan terpenuhi pada interval ini.
   • Interval 3: $x > 4$ (misalnya, $x=5$)
     Substitusikan $x=5$ ke dalam $x^2 – 5x + 4$:
     $(5)^2 – 5(5) + 4 = 25 – 25 + 4 = 4$.
     Karena $4 > 0$, ketidaksamaan tidak terpenuhi pada interval ini.

Karena ketidaksamaan melibatkan "kurang dari atau sama dengan" ($le$), maka akar-akar $x=1$ dan $x=4$ juga termasuk dalam himpunan penyelesaian.

Dengan demikian, interval di mana ketidaksamaan terpenuhi adalah dari 1 sampai 4, termasuk 1 dan 4.
Himpunan penyelesaiannya adalah $$.

>

Contoh Soal 4: Fungsi Rasional dan Domainnya

Soal:

Diberikan fungsi rasional $g(x) = fracx+1x-3$. Tentukan:
a. Domain dari fungsi $g(x)$.
b. Asimtot datar (jika ada).
c. Asimtot tegak.
d. Sketsa grafik fungsi $g(x)$.

Penyelesaian:

Fungsi rasional adalah fungsi yang dapat ditulis dalam bentuk $fracP(x)Q(x)$, di mana $P(x)$ dan $Q(x)$ adalah polinomial dan $Q(x) neq 0$.

a. Domain dari fungsi $g(x)$:

Domain dari fungsi rasional ditentukan oleh nilai-nilai $x$ yang membuat penyebutnya tidak sama dengan nol.
Dalam kasus ini, penyebutnya adalah $x-3$.
Agar fungsi terdefinisi, penyebut tidak boleh nol:
$x – 3 neq 0$
$x neq 3$

Jadi, domain dari fungsi $g(x)$ adalah semua bilangan real kecuali 3. Dalam notasi himpunan, domainnya adalah $x mid x in mathbbR, x neq 3$ atau dalam notasi interval $(-infty, 3) cup (3, infty)$.

b. Asimtot datar (jika ada):

Asimtot datar dari fungsi rasional $g(x) = fracP(x)Q(x)$ bergantung pada derajat dari $P(x)$ dan $Q(x)$.
Dalam fungsi $g(x) = fracx+1x-3$:

• Derajat $P(x) = x+1$ adalah 1.
• Derajat $Q(x) = x-3$ adalah 1.

Karena derajat pembilang sama dengan derajat penyebut, maka asimtot datarnya adalah garis $y = fractextkoefisien suku tertinggi pembilangtextkoefisien suku tertinggi penyebut$.
Koefisien suku tertinggi pembilang adalah 1 (dari $x$).
Koefisien suku tertinggi penyebut adalah 1 (dari $x$).

Jadi, asimtot datarnya adalah $y = frac11 = 1$.
Asimtot datarnya adalah $y=1$.

c. Asimtot tegak:

Asimtot tegak dari fungsi rasional terjadi pada nilai $x$ yang membuat penyebutnya nol, asalkan nilai $x$ tersebut tidak membuat pembilangnya juga nol (dalam kasus fungsi rasional yang paling sederhana).
Kita sudah menemukan bahwa penyebut $x-3$ bernilai nol ketika $x=3$.
Untuk $x=3$, pembilangnya adalah $3+1=4$, yang tidak nol.
Jadi, asimtot tegaknya adalah garis $x=3$.

d. Sketsa grafik fungsi $g(x)$:

Untuk membuat sketsa grafik, kita gunakan informasi yang telah kita peroleh:

• Domain: $x neq 3$
• Asimtot datar: $y=1$
• Asimtot tegak: $x=3$

Kita juga bisa mencari beberapa titik penting:

• Titik potong sumbu y: Ketika $x=0$, $g(0) = frac0+10-3 = frac1-3 = -frac13$. Titik potong sumbu y adalah $(0, -frac13)$.
• Titik potong sumbu x: Ketika $g(x)=0$, maka pembilangnya harus nol. $x+1 = 0 implies x = -1$. Titik potong sumbu x adalah $(-1, 0)$.

Grafik fungsi rasional ini akan mendekati asimtot datar ($y=1$) dan asimtot tegak ($x=3$) tetapi tidak akan pernah menyentuhnya.
Grafik akan berada di bawah asimtot datar di sebelah kiri asimtot tegak (karena titik potong sumbu y dan x berada di sana) dan di atas asimtot datar di sebelah kanan asimtot tegak.

>

Penutup:

Contoh-contoh soal di atas mencakup beberapa konsep kunci dalam Matematika Peminatan kelas 10 semester 1. Memahami cara menyelesaikan soal-soal ini tidak hanya akan membantu dalam menghadapi ujian, tetapi juga membangun fondasi yang kuat untuk pemahaman matematika yang lebih kompleks di masa depan.

Kunci keberhasilan dalam belajar matematika adalah konsistensi, latihan soal yang beragam, dan kemauan untuk bertanya ketika menghadapi kesulitan. Dengan menguasai materi fungsi kuadrat, persamaan kuadrat, ketidaksamaan kuadrat, dan fungsi rasional, siswa akan siap melangkah ke materi-materi yang lebih menantang. Selamat belajar dan terus berlatih!